2025: een jaar waarin wiskunde zichtbaarder werd

In de afgelopen vier jaar zijn verschillende nieuwe topologische technieken (betreffende vormen en ruimte) ontwikkeld om algebraïsche eigenschappen te bestuderen van objecten bekend als diagramalgebra’s. Deze algebra’s vinden hun oorsprong in de natuurkunde en komen voor in vele contexten in algebra, meetkunde en knopentheorie. Dit project zal deze nieuwe methoden toepassen, zowel om stabiliteits- en instabiliteitseigenschappen in de algebra te bestuderen, als om andere toepassingen in verschillende contexten te onderzoeken, waaronder knopentheorie en de meetkunde van oppervlakken.

De kern van dit project is het opbouwen van een symbiotische relatie tussen de studie van Riemann-oppervlakken en algebraïsche krommen, die equivalent zijn als wiskundige objecten, maar bestudeerd worden door twee verschillende vakgebieden van de wiskunde. Een belangrijke beperking van het gebruik van deze equivalentie is de transcendentiekloof: expliciet omzetten von een representatie van de ene soort in de andere vereist transcendente functies, dat wil zeggen functies die niet als een polynoom kunnen worden geschreven. Dit project stelt een nieuwe methode voor om de transcendentiekloof te overbruggen met behulp van recente ontwikkelingen in numerieke algebraïsche meetkunde.

Statistisch leren is overal: van film-aanbevelingen tot tekstanalyse. Echter levert statistisch leren, ondanks hoge verwachtingen, vaak onbetrouwbare prestaties. Zo proberen fraudeurs algoritmes te misleiden of heeft de medische wereld maar beperkte data tot hun beschikking, wat leidt tot hoge variantie. Om de uitdagingen in statistisch leren aan te pakken zal ik gebruikmaken van gereedschappen uit de interactieve besliskunde, die, in tegenstelling tot statistisch leren, niet afhankelijk is van beperkende aannames. Mijn doel is om solide wiskundige fundamenten te ontwikkelen om onderliggende mechanismen te begrijpen en optimale prestaties te garanderen. Uiteindelijk voldoen we zo aan de hoge verwachtingen met lage variantie.

Niet alleen monteurs hebben gereedschap nodig: ook voor theoretisch wiskundig onderzoek zijn werktuigen nodig—abstracte hamers en zagen welteverstaan. De onderzoeker van dit project ontwikkelt allerlei gereedschappen (wiskundige stellingen) om rijtjes getallen uit de getaltheorie, meetkunde en mathematische fysica te beschrijven. In het bijzonder bepaalt deze wiskundige de ‘vingerafdruk’ van nieuwe modulaire symmetrieën die zulke rijtjes kunnen bezitten, met als doel om zulke symmetrieën beter te kunnen herkennen en te gebruiken. Hierdoor draagt deze wetenschapper bij aan de niet-geringe verzameling wiskundige problemen die zijn opgelost door modulariteitseigenschappen te gebruiken.

Dit project focust op een van de meest cruciale uitdagingen in de theoretische informatica en optimalisering: algoritmes ontwikkelen die efficient geheeltallige programma’s (GP’s) oplossen. GP’s zijn essentieel voor het oplossen van grootschalige complexe problemen in de samenleving en industrie. Hoewel GP’s state-of-the-art zijn voor veel problemen in besliskunde, blijft hun computationele moeilijkheid de kernuitdaging. Omdat toepassingen vaak bruikbare structuren vertonen, identificeert dit project nieuwe, efficiënt oplosbare GP-klassen en ontwikkelt algoritmes om deze op te lossen. Dit draagt bij aan de kennis over GP’s en biedt een sterker instrumentarium dat veel disciplines beïnvloedt door te herdefiniëren welke problemen opgelost kunnen worden.

We maken vaak beslissingen op basis van schattingen van experts. Zelfs wanneer we een computermodel gebruiken om te helpen met onze beslissingen, worden de inputwaardes afgeschat door experts. We kunnen nauwkeurigere schattingen maken door meer informatie te vergaren. Dit is typisch een duur process. Daarom willen we graag weten welke inputwaardes en beslissingen het belangrijkst zijn voor de uitkomst van een probleem, zodat we weten naar welke waardes we meer onderzoek moeten doen. Bestaande methodes gebruiken simulaties. Deze zijn duur, en kunnen belangrijke variabelen missen. In dit project gebruiken we de structuur van een probleem om belangrijke variabelen te identificeren.

Natuurverschijnselen zoals het weer, de stroming van een rivier of een chemische reactie, worden wiskundig gemodelleerd met vergelijkingen gebaseerd op verschillen. Zo wordt de wind bijvoorbeeld aangedreven door verschillen in luchtdruk. Turbulentie in deze verschijnselen kan worden gemodelleerd door een ruis-term toe te voegen aan de vergelijking. Om de eigenschappen van deze vergelijkingen te bestuderen, moet men bepaalde singulariteiten begrijpen die verband houden met deze ruis. Dit project onderzoekt deze singulariteiten door ze op te splitsen in eenvoudigere, behapbare stukjes. Dit zal nieuwe inzichten bieden in de oplosbaarheid van deze vergelijkingen.

Eeuwenlang hebben wiskundigen meetkundige vormen bestudeerd met behulp van algebraïsche hulpmiddelen. Dit onderzoeksproject combineert technieken uit de topologie en meetkunde om hiervoor nieuwe algebraïsche methoden te ontwikkelen. Hiermee kunnen we ruimten bestuderen in termen van eenvoudigere stukken, door ze te zien als logaritmische ruimten. De resulterende theorie zal worden gebruikt om problemen in de meetkunde, topologie en homotopie-theorie aan te pakken.

Sommen van kwadraten zijn wiskundige objecten met een lange geschiedenis. Hoewel ze vroeger vooral bestudeerd werden omwille van hun theoretische eigenschappen, worden ze tegenwoordig gebruikt als gereedschap om krachtige algoritmes te ontwikkelen. Met die algoritmes kunnen allerlei problemen in de exacte en toegepaste wetenschappen worden opgelost. In dit project bouwen we aan de wiskundige fundamenten van deze algoritmes. Op basis hiervan proberen we hun succes te verklaren. In het bijzonder ontwikkelen we methodes waarmee we verder kunnen kijken dan het ‘worst-case scenario’.

Extremale problemen liggen ten grondslag aan vele disciplines, zoals meetkunde end combinatoriek. Voorbeelden hiervan zijn het bepalen van de snelste route tussen twee locaties of de dichtste bolpakking. Binnen de eindige meetkunde bestudeert men structuren die voldoen aan de axioma’s van klassieke meetkundige ruimten om tot extremale constructies binnen de combinatoriek te komen. Dit voorstel draait die aanpak om: het past nieuwe methoden uit de combinatoriek toe om fundamentele extremale problemen binnen de eindige meetkunde op te lossen. De impact van dit voorstel reikt tot aan de theorie van minimale codes, perfect hashing en lage-rang binaire matrices.

Het wordt steeds duidelijker dat onze samenleving wordt overspoeld door een groeiende stroom aan informatie, waarvan een groot deel overbodig of onbetrouwbaar is. Zelfs in ons dagelijks leven worden we voortdurend geconfronteerd met de uitdaging om inhoud uit verschillende media te filteren. Een manier om deze uitdaging aan te gaan is door middel van compressiemethoden, die al op grote schaal worden toegepast op eindig-dimensionale gegevens. Als het echter gaat om oneindig-dimensionale structuren, die vaak worden gebruikt om moderne gegevens te beschrijven, zijn dergelijke methoden nog onontgonnen terrein. SPARGO wil deze kloof overbruggen door een nieuw kader voor oneindigdimensionale compressie te ontwikkelen.

Partiële differentiaalvergelijkingen worden gebruikt om talrijke tijdsafhankelijke processen wiskundig te modelleren, zoals warmtegeleiding, vloeistofbeweging, de voortplanting van akoestische/elektromagnetische golven en vele anderen. Deze vergelijkingen zijn bijna nooit exact oplosbaar. Daarom zijn numerieke algoritmes onmisbare instrumenten om hun oplossingen te benaderen met behulp van computers. Het doel van dit onderzoek is het ontwikkelen en wiskundig analyseren van nieuwe algoritmes specifiek voor warmtegeleidingsprocessen die de exacte onbekende temperatuur met minimale rekentijd nauwkeurig benaderen, zodat zelfs complexe problemen binnen realistische tijds- en middelenbeperkingen opgelost kunnen worden.

De wetenschappelijke en technische wonderen die onze moderne wereld vormen, vertrouwen op de juistheid van de onderliggende wiskunde. Naarmate wiskunde steeds complexer wordt, worden betere verificatiemethoden essentieel. We zullen wiskundige fundamenten ontwikkelen voor software, genaamd proof assistants of “”bewijsassistenten””, die automatisch de juistheid van wiskunde verifiëren. Deze theoretische basis is bedoeld om de ontwikkeling van effectievere verificatietools te ondersteunen die zijn afgestemd op specifieke wiskundige contexten. Dit project zal helpen een toekomst te bewerkstelligen waarin de complexiteit van de wiskunde die kan worden ontwikkeld niet langer wordt beperkt door de capaciteit van het menselijk brein.

Leren van complexe systemen: de wiskundige grondslagenWat maakt een chemische molecule een goed medicijn? Hoe snel kunnen ideeën zich verspreiden via sociale netwerken? Waarom zijn bepaalde complexe systemen, zoals het menselijk brein of het internet, zo moeilijk te begrijpen? Het opkomende vakgebied Graph Learning belooft de verborgen patronen in complexe systemen te ontrafelen.De kern van deze aanpak zijn Graph Neural Networks (GNNs): dit zijn AI-modellen die kunnen redeneren over relaties, niet alleen over data. Wij leggen de wiskundige basis voor

Wat zijn de kosten van een taak wanneer deze vele malen wordt uitgevoerd? Deze vraag vormt de kern van centrale problemen in de wiskunde, informatica en quantuminformatie, zoals snelle matrixvermenigvuldiging, Shannon-capaciteit en kwantumverstrengelingstransformaties. Dit project bouwt voort op de theorie van asymptotische spectra, een krachtige nieuwe benadering die de diepe structuur van deze problemen in verschillende disciplines blootlegt. Door deze theorie te ontwikkelen en toe te passen op directe-somproblemen, wil het project langdurige barrières overwinnen met behulp van nieuwe methoden uit de algebra, topologie, combinatoriek en optimalisatie.

Kunstmatige intelligentie (AI) wordt steeds beter, maar hoe die tot zijn beslissingen komt blijft vaak ondoorgrondelijk, omdat het afhangt van vele onbegrijpelijke getallen in de software. De onderzoekers gaan nieuwe wiskundige technieken ontwikkelen die de interne mechanismen van AI kunnen uitleggen door uit die vele getallen een begrijpelijke uitleg te genereren. Zij zullen daarvoor voor het eerst een wiskundig kader ontwikkelen en geavanceerde methoden uit de wiskundige machine learning theorie inzetten.

Wiskundige modellen voor het ontstaan van structuren zoals ringen, spiralen en golven in de natuur gaan meestal uit van een ideale wereld, waar geen plaats is voor omgevingsruis en complexe ruimtelijke structuren. De onderzoekers gaan technieken ontwikkelen om dit soort effecten op een precieze manier te beschrijven, zodat ze juist wel meegenomen kunnen worden in de modellen.

Het kortste pad tussen een twee punten in een netwerk is de snelste route die iemand door het netwerk kan nemen om van het beginpunt naar de bestemming te gaan. Het kortste pad is belangrijk in transport, telecommunicatie, systeembiologie en epidemiologie. Het vinden van het kortste pad is vrijwel onmogelijk met conventionele graaftheoretische methodes wanneer het netwerk slechts gedeeltelijk bekend is. Dit project zal theoretische en computationele inferentie-methoden ontwikkelen om de kortste paden te vinden in gedeeltelijk bekende netwerken met behulp van geometrische netwerkrepresentaties in niet-Euclidische ruimtes. Deze methoden zullen worden toegepast op het internet en biologische netwerken.

Met dit voorstel willen we wiskundige theorie ontwikkelen voor het toetsen van heel veel hypotheses tegelijk. Onze nieuwe theorie brengt drie verschillende vormen van interactiviteit in het onderzoek: qua studieopzet, analyse, en modelkeuze. De onderzoeker mag naar de data en tussenresultaten kijken en op basis daarvan besluiten meer data toe te voegen, meer hypotheses – of zich juist te richten op alleen de meest veelbelovende hypotheses – en zij hoeft zich niet van te voren vast te pinnen op een bepaald model. Onderwijl behouden onze methodes harde statistische foutgaranties.

Het stemmodel beschrijft hoe individuen hun mening baseren op die van anderen. Als mensen ver uit elkaar zijn, is het uiteraard minder waarschijnlijk dat zij elkaar beïnvloeden. Daarom ontwikkelen we in dit onderzoek een wiskundig framework waarin deze afstand op algemene wijze opgenomen kan worden in het stemmodel. We zijn dan geïnteresseerd in de invloed hiervan op het bereiken van consensus (dat iedereen het met elkaar eens is) en hoe lang dit duurt. Door terug te kijken in de tijd, bestuderen we ook waar de oorsprong ligt van iemands mening.

De bewegingen van uiterst kleine deeltjes binnen atomen worden beschreven door de toestanden van een quantummechanisch systeem. Dit project laat zien dat de verzameling van deze toestanden een rijke en complexe geometrische structuur bezit. Deze structuur vormt een vergaande uitbreiding van technieken op het snijvlak van de kansrekening en de differentiaalmeetkunde. Dankzij deze geometrische benadering krijgen we nieuwe inzichten in quantumsystemen, zoals de mate van informatieverlies na verloop van tijd en de fundamentele verschillen (classificatie) tussen diverse quantumsystemen.

Drinfeldmodulen zijn objecten die worden bestudeerd in de aritmetische meetkunde, die gezien kunnen worden als analogen van elliptische krommen over functielichamen. Het gedrag van hun rationale torsiepunten wordt beschreven door de (gegeneraliseerde) vermoedens van Ogg. Dit voorstel bestudeert een aantal van deze vermoedens met een nieuwe, meetkundige benadering door middel van rationale punten op Drinfeld modulaire krommen.

Laminaties duiken op in verschillende onderdelen van de wiskunde. Ze vormen modellen voor quasikristallen, vreemde aantrekkers in chaos, en spelen een rol in de meetkundige studie van partiële differentiaalvergelijkingen. Opmerkelijk genoeg vinden we ze ook terug in algebra, getaltheorie en niet-commutatieve meetkunde. In dit voorstel bundelen we technieken uit drie verschillende wiskundige deelgebieden om nieuwe inzichten te verwerven in de eigenschappen van een specifieke klasse laminaties, bekend als solenoïdale variëteiten. Ons doel is om nieuwe invarianten te ontdekken, of om rekenmethoden te verbeteren voor bestaande invarianten, waarmee we deze bijzondere structuren beter van elkaar kunnen onderscheiden.

We onderzoeken de beweging van druppels op nanometerschaal. Hierbij komt de deeltjesaard van de druppel in het spel, wat leidt tot een statistisch model voor druppelbeweging door een ruisterm op te nemen in de standaard-vergelijking voor de evolutie. We zullen aantonen dat dit model wiskundig klopt en voorspelt dat druppels zich sneller verspreiden op nanometerschaal vergeleken met het standaard deterministische model, in overeenstemming met computersimulaties.

Dit project heeft als doel geavanceerde wiskundige algoritmes te ontwikkelen die de simulaties van complexe systemen beïnvloed door willekeur, zoals plasma in kernfusiereactoren, verbeteren. Door de onderliggende geometrische structuren van deze systemen te behouden, zullen de nieuwe algoritmes nauwkeurigere en betrouwbaardere modellen leveren voor langetermijnsimulaties. Deze gereedschappen zullen worden toegepast in diverse vakgebieden, waaronder stromingsleer, moleculaire fysica en medische fysica, met bijzondere aandacht voor het verbeteren van simulaties van plasmagedrag. Dit werk is cruciaal voor de vooruitgang van kernfusietechnologie en kan mogelijk leiden tot stabielere en efficiëntere fusiereactoren, een toekomstige bron van schone, onuitputtelijke energi

De overgrote meerderheid van de reële getallen zijn irrationeel, dat wil zeggen dat ze niet als breuk van twee gehele getallen kunnen worden geschreven. Het getal π = 3,1415926. . . , dat gedefinieerd is als de verhouding van de omtrek van een cirkel tot de diameter, is een bekend voorbeeld. Maar voor veel andere wiskundig bekende grootheden, zoals de waarden van Riemann’s zeta-functie op oneven positieve gehele getallen, blijft de irrationaliteit een moeilijk open probleem. Het voorgestelde project is gericht op het oplossen van dergelijke uitdagingen en het creëren van nieuwe methoden voor gebruik in andere gebieden van de wiskunde.

De mogelijkheid om schaalvoordelen te behalen wanneer veel taken tegelijk worden uitgevoerd, in plaats van ieder los, is van fundamenteel belang in toepassingen in de wiskunde, natuurkunde, economie and informatica. Veel zulke toepassingen (bijvoorbeeld in algebraïsche complexiteitstheorie, kwantuminformatietheorie en discrete wiskunde) worden gemodelleerd als tensoren en asymptotische rangen. Dit project ontwikkelt (en past toe) diverse nieuwe methoden om deze problemen op te lossen en nieuwe inzichten te verkrijgen in het asymptotische gedrag van tensoren.

De verspreiding van epidemieën, nepnieuws, economische spanningen en corticale synchronisatie delen een belangrijk kenmerk: ze omvatten agenten die verbonden zijn via ingewikkelde netwerken van interacties. Netwerktheorie bestudeert deze complexe onderlinge verbondenheid, die kan leiden tot dramatische reacties op externe verstoringen, die cascades, schokken en andere belangrijke gebeurtenissen lokaal en wereldwijd veroorzaken. Universele patronen ontstaan in deze systemen, waardoor we gemeenschappelijke kenmerken kunnen identificeren voor hun modellering en controle. Dit voorstel is gericht op het afleiden van nieuwe hulpmiddelen voor het begrijpen van complexe netwerken, door informatietheorie, natuurkunde en wiskunde toe te passen op maatschappelijk belangrijke problemen.