> speciaal wiskundeonderwijs <

“Haakje openen x plus 2 haakje sluiten kwadraat”

Hoe lastig het is om (x + 2)² in braille te lezen

Braillelezers hebben grote moeite om wiskunde op eindexamenniveau middelbare school en hoger te leren. Dat komt onder andere omdat formules visueel makkelijker te begrijpen zijn, en door onvoldoende specifieke kennis bij hun leraren. Annemiek van Leendert onderzocht hoe dit beter kan.

Leerlingen die het met de paplepel is ingegoten staan er nooit bij stil, maar onze notatie van rekenkundige en wiskundige uitdrukkingen is een vrij modern verschijnsel. Zaken als de deelstreep, de exponent of het wortelteken bestonden in de Middeleeuwen nog niet. Het voordeel van zulke notatie is dat ze een grafische structuur aanbrengen in formules. En die is recursief: teller, noemer of exponenten kunnen zelf ook weer een breuk zijn; onder een wortelteken kan weer een formule met breuken, exponenten en worteltekens staan.

Ingewikkelde formules vormen daarom tweedimensionale structuren waarin functionele onderdelen visueel makkelijk te onderscheiden zijn, net als hun hïerarchie. Sommige formules, zoals kettingbreuken of oneindige reeksen, vertonen zelfs een zekere abstracte schoonheid.

Driedubbel geneste haakjes

Zienden kunnen zich een voorstelling maken van de problemen van blinden door een ingewikkelde formule in één regel uit te schrijven. Dat lukt altijd, maar dan heb je al gauw allerlei combinaties van dubbel of driedubbel ‘geneste’ haakjes nodig. Samenhangende onderdelen van een formule (zoals twee grootheden die moeten worden opgeteld) kunnen dan ver van elkaar af komen te staan, en het wordt lastiger om de diverse lagen in een formule te onderscheiden. Iedereen die wel eens computercode geschreven heeft, weet hoe lastig dit kan zijn. Als je een aldus uitgeschreven formule leest, zie je achtereenvolgens alle tekens, maar je krijgt moeilijk overzicht.

Mensen die afhankelijk zijn van braille, krijgen formules voorgeschoteld als een aaneengesloten rij brailletekens. Die bestaan uit combinaties van maximaal 6 of 8 puntjes (er zijn diverse systemen). In het 6-punts systeem zijn maar 2^6 = 64 tekens mogelijk. Dat is niet genoeg om alle alfabetische en wiskundige tekens apart te coderen, dus kent braille ook een soort shift-toets: zo betekent # dat het teken daarna niet als een letter, maar als een cijfer geïnterpreteerd moet worden.

Het voorbeeld hieronder laat al zien, dat ook een heel compacte formule al een vrij onoverzichtelijke sliert tekens oplevert.

Tegenwoordig bestaat er software die geschreven tekst, inclusief formules, automatisch omzet in braille op een voelbare ‘brailleleesregel’.

Van Leendert onderzocht bij een kleine groep proefpersonen hoee goed dat werkt in vergelijking met ‘gewone’ tekstlezers. Ze trackte met automatische apparatuur zowel de vingerbewegingen van de braillelezers over de brailleleesregel, als de ogen van de ziende lezers.

De taststrategie van braillelezers

Vergeleken met ziende lezers, hadden zelfs ervaren braillelezers drie en half keer zoveel tijd nodig om dezelfde wiskundige expressies op havo-niveau te lezen en begrijpen. Uit hun vingerbewegingen bleek, dat ze vaker herlazen en minder gebruik maakten van een leesstrategie die gericht was op de wiskundige structuur van de expressies.

De zogeheten taststrategie van de meeste braillelezers is, om met de wijsvingers dicht bij elkaar op de brailleleesregel te lezen. Dat werkt blijkbaar goed om tekst te begrijpen, maar minder goed bij formules. Daarom ontwierp Van Leendert een interventie om wiskundige expressies met de wijsvingers verder uit elkaar te lezen, die dan verschillende functionele eenheden aftasten . Hoewel ze dit op slechts drie leerlingen uittestte, is de voorlopige conclusie dat hiermee een tijdbesparing van ongeveer dertig procent haalbaar is. Dit is belangrijk, omdat veel braillelezers op een reguliere school onderwijs volgen, en de rest van de leerlingen zo goed mogelijk bij moeten proberen te houden bij onderwijs en proefwerken.


Links: laptop met brailleleesregel. De tastbewegingen werden geregistreerd met reflecterende stickertjes op de handschoenen, de nagels van de wijsvingers en de laptop. Rechts een voorbeeld van een registratie.

Spraakwoordenboek voor wiskunde

Veel blinden en slechtzienden gebruiken ook spraaksynthesesoftware die geschreven tekst voorleest. Ook bij het maken van reken- en wiskundesommen doen ze dat, maar die is daar nog niet op toegesneden. Van Leendert vulde gaandeweg haar onderzoek het spraakwoordenboek van deze software aan met wiskundig vocabulaire, zodat elke wiskundige expressie op middelbare school niveau kan worden uitgesproken zonder elementen over te slaan. Ook paste ze andere instellingen van de software op basis van de praktijkervaringen aan.

Zo ontdekten de braillelezers bijvoorbeeld, dat het gemakkelijker is om informatie uit een uitdrukking die wordt voorgelezen, te selecteren en te begrijpen wanneer de spreeksnelheid laag is – veel lager dan ze gewend waren bij gebruik van spraaksynthese.

Van Leendert ontwierp ook een cursus specifiek voor docenten die wiskundeles geven aan leerlingen die van braille en/of spraaksynthesesoftware afhankelijk zijn. De vijf deelnemende docenten gaven wiskundeles op scholen voor leerlingen met een visuele beperking, maar op een na hadden ze geen onderwijsbevoegdheid voor wiskunde. Ook hadden ze geen van allen eerder specifieke training gehad in wiskundeonderwijs met behulp van braille- en spraaksynthese software.

Wat ook zou helpen, is een uniforme notatie voor wiskundige expressies in braille. Van Leendert benaderde twintig docenten uit dertien Europese en drie niet-Europese landen met de vraag om 21 wiskundige expressies en vergelijkingen te noteren in de braillenotatie die op dat moment door hun braillelezers werd gebruikt. De variatie was enorm: zelfs de simpele breuk 1/4 werd op 18 verschillende manieren in braille weergegeven!

Braillelezers laten presteren op het niveau van hun capaciteiten

Gezien de kleine aantallen proefpersonen en het verkennende karakter van het onderzoek, valt er vast nog veel te winnen in het aanpassen van lesmateriaal voor braillelezers en bijscholing voor docenten. Die behoefte is er zeker: wiskunde wordt volgens Van Leendert bij sommige blinde en slechtziende leerlingen al op de basisschool een probleem.

Uit het onderzoek van Van Leendert blijkt dat het van groot belang is dat braillelezers wiskunde krijgen van gekwalificeerde én enthousiaste wiskundedocenten. Dat is nu vaak niet het geval omdat voor het geven van wiskunde in het speciaal onderwijs een 2e of 1e graads bevoegdheid in wiskunde niet vereist is. Daarnaast moeten de wiskundedocenten begrijpen, hoe het lezen in braille en/of met spraaksynthese het leren en onderwijzen van braillelezers beïnvloedt en hun instructie daar ook op aanpassen. Pas dan kunnen braillelezers presteren op een niveau dat past bij hun capaciteiten.

Van Leendert hoopt te bereiken dat het wiskundeonderwijs voor braillelezers, zowel in het speciaal als in het regulier onderwijs, verder geprofessionaliseerd wordt: “Mijn proefschrift is ook een oproep aan wiskundedocenten die in het regulier onderwijs werken: denk eens na over een carrière in het speciaal onderwijs. Juist op deze scholen zijn top-wiskundedocenten hard nodig.”

Reacties kunnen niet achtergelaten worden op dit moment.