Op het on line Nederlands Mathematisch Congres (NMC), gehouden op 23 april, werd onder meer de prijs toegekend voor het beste profielwerkstuk op het gebied van de wiskunde. De prijs, een initiatief van wiskundetijdschrift Pythagoras, ging naar Femke Voogt van het Dongemond College in Raamsdonkveer.
Prijs voor beste profielwerkstuk gaat naar ‘meerdimensionaal boter-kaas-en eieren’
Door Arnout Jaspers
Voogt onderzocht of het welbekende spelletje boter-kaas-en eieren te winnen is, maar dan op een speelveld dat groter is dan 3 x 3 vakjes, en ook in meer dan twee dimensies.
Voorafgaand aan de NMC had een deskundige jury alle ingestuurde profielwerkstukken beoordeeld, en drie finalisten bekend gemaakt. Tijdens het on line evenement presenteerden de drie finalisten hun profielwerkstuk in een korte video, en mochten alle deelnemers aan de zoom-meeting stemmen voor de publieksprijs. Femke Voogt won zowel de juryprijs als de publieksprijs.
Waar het publiek vooral gecharmeerd zal zijn geweest door het toegankelijke onderwerp en de prettige videopresentatie, was de jury ook onder de indruk van de inhoud: “In dit profielwerkstuk zat de diepste wiskunde,” aldus jurylid K.P. Hart.
Bij boter-kaas-en eieren zetten twee spelers om beurten in een veld van 3×3 vakjes een kruisje of een rondje, en degene die drie rondjes of kruisjes op een rij krijgt, heeft gewonnen. Dit eindigt altijd in een gelijkspel – niemand krijgt een heel rijtje vol – als je geen domme zetten doet. Maar hoe zit dat als het veld groter is, 4×4, of 5×5, of in het algemeen S x S vakjes? Ook kun je boter-kaas-en eieren spelen in een kubus, dus een driedimensinaal veld, of zelfs een veld met nog meer dimensies, 4, 5 of in het algemeen D dimensies.
In haar profielwerkstuk verkent Femke diverse methoden uit de combinatoriek om wiskundig te bewijzen dat het spel voor bepaalde waarden van S en D met zekerheid eindigt in ofwel winst, ofwel gelijkspel. Dat levert onderstaand overzicht op:
BIjschrift: Afmetingen (S) en dimensie (D) van het speelveld waarvoor de uitkomst van boter-kaas-en-eieren bekend is, of niet meer dan een vermoeden.
Femke’s ambitie was aanvankelijk, om een algemene formule te vinden die voor elke S en D aangeeft of de speler die begint een winnende strategie heeft, of dat de tweede speler gelijkspel kan afdwingen. Dat bleek te hoog gegrepen: al voor verrassend kleine S en D is niet bekend waar dit ‘kantelpunt’ tussen winnen en gelijkspelen zit.
Als het niet lukt om wiskundig te bewijzen wat de uitkomst van het spel is voor een zekere S en D, zou je nog kunnen proberen om een computer alle spelverlopen te laten uitspelen. Maar al voor een 5x5x5 kubus is dit niet meer te doen, omdat er te veel mogelijkheden zijn, en is niet met zekerheid bekend of de beginspeler een winnende strategie heeft.
Femke Voogts profielwerkstuk: klik hier
De andere twee finalisten en hun profielwerkstukken zijn hier te vinden: