Vierkant voor Wiskunde komt met werkboek over epidemiologie.
Door Arnout Jaspers
Wel of geen lockdown? Zo’n beslissing wordt grotendeels bepaald door wat een wiskundig model voorspelt over hoe een epidemie zich zal ontwikkelen. Dit laat maar weer eens zien hoe wiskunde van eminent belang is voor de samenleving. In ‘Onderzoek naar een virusuitbraak’ kunnen bovenbouw scholieren hier zelf mee aan de slag.
Een epidemie leent zich prima voor wiskundige modellering. Wanneer de eigenschappen van een virus, zoals besmettelijkheid en incubatietijd, eenmaal bekend zijn, gedraagt het zich zeer voorspelbaar. Toevallige mutaties kunnen die eigenschappen weliswaar veranderen, maar ook dat kan weer snel in een aangepast model worden opgenomen.
Het gedrag van mensen is daarentegen veel moeilijker te modelleren. Als Famke Louise op Instagram zegt ‘Ik doe niet meer mee’, houden ineens talloze mensen zich niet meer aan de regels voor social distancing. Als twee van de paar honderdduizend Nederlanders die tot nu toe gevaccineerd zijn, plotseling dood neer vallen, en dat komt in de krant, dan kan dat zomaar een half miljoen extra vaccin-weigeraars opleveren, ook als achteraf blijkt dat deze sterfgevallen niets met de vaccinatie te maken hadden.
Ziektedetectives
In ‘Onderzoek naar een virusuitbraak’ worden de basisbegrippen van de epidemiologie geïntroduceerd aan de hand van een fictieve uitbraak van een nog onbekende ziekte op een middelbare school.
Epidemiologen staan ook wel bekend als ‘ziektedetectives’, en in de eerste hoofdstukken gaat het dan ook vooral over het in kaart brengen van de ziekte en de symptomen. Met allerlei praktische opgaven kunnen leerlingen, en andere lezers, deze speurtocht naspelen.
Daarna komen de wiskundige modellen aan bod, te beginnen met het eenvoudigste model voor het verloop van een epidemie, het SIR-model. Belangrijkste parameter daarbij is R0, het aantal personen dat één geïnfecteerd (en besmettelijk) persoon gemiddeld aansteekt in een populatie waar iedereen nog vatbaar is voor de ziekte.
Naarmate de epidemie om zich heen grijpt, hebben steeds meer mensen de ziekte al gehad, en zijn daardoor immuun geworden (of overleden). Het virus krijgt dan steeds meer moeite om nog vatbare personen te vinden, zodat de effectieve R daalt. Zodra de R onder de 1 daalt, dooft de epidemie uit en is in de populatie groepsimmuniteit ontstaan.
Onder de radar
In het boek interviewt auteur Elles Lalieu ook vier epidemiologen. Ze begonnen als student gezondheidswetenschappen of wiskunde, en vertellen allevier, dat ze pas tijdens een latere fase van hun studie ontdekten hoe fascinerend dit specialisme was. Als epidemioloog kun je weliswaar – net als veel wetenschappers – een flink deel van je werktijd achter een computer doorbrengen, maar soms ga je bijna letterlijk als een detective op zoek naar de oorsprong van een uitbraak, op een boerderij, in een ziekenhuis, of in een ver land.
Voorheen werkten epidemiologen grotendeels onder de radar van het grote publiek. Maar sinds het uitbreken van de coronacrisis zijn velen van hen overgeschakeld naar Covid-19, en staan ze in het brandpunt van de belangstelling. Martin Bootsma, epidemioloog aan het UMC Utrecht: “Het is namelijk heel makkelijk om tussen ziekten te switchen. Natuurlijk heeft elke infectieziekte zijn eigen parameters, maar veel modelstructuren blijven hetzelfde.”
Was de coronacrisis te voorzien geweest? Ja en nee. Enerzijds was er de alarmerende uitbraak van dat andere coronavirus in 2002 in China, SARS, die een waarschuwing had moeten zijn. Maar anderzijds lukte het om die uitbraak in de kiem te smoren, na ‘slechts’ 774 overledenen. Dat gaf ook vals vertrouwen dat men zulke uitbraken altijd snel onder controle zou kunnen krijgen. Maria Prins, hoofd afdeling infectieziekten van de Amsterdamse GGD: “Ik had zelf werkelijk nooit gedacht dat er een infectie zou komen met zo’n impact.”
De Britse variant
Hoewel ‘Onderzoek naar een virusuitbraak’ uitgebreid in gaat op de coronacrisis, rolde het boek net te vroeg van de persen om het ontstaan van de ‘Britse’ variant van Covid-19 mee te nemen. Deze in september 2020 voor het eerst gedetecteerde virusvariant lijkt aanzienlijk besmettelijker dan de ‘gewone’ variant die tot dan toe de wereld over ging. De R0 van gewone Covid-19 wordt geschat op 3, terwijl de R0 van de Britse variant mogelijk rond de 5 ligt.
Aangezien de groei van het aantal geïnfecteerden in een nog grotendeels vatbare bevolking – zonder lockdown en social distancing – exponentieel verloopt, levert dat al snel een enorm verschil op: 5, 25 , 125 , 625 groeit veel sneller dan 3, 9, 27, 81. Dat is waarschijnlijk de reden, dat de Britse variant in sommmige gedeeltes van Groot-Brittannië de gewone variant al bijna verdrongen heeft.
Er is nog veel onzeker, maar vooralsnog lijkt de Britse variant wel besmettelijker, maar niet ziekmakender of dodelijker. De IFR (infection fatality ratio) van gewone Covid-19 ligt in de algemene bevolking onder de 1%, dus minder dan 1 op de 100 geïnfecteerden overlijdt aan de ziekte. Dat lijkt voor de Britse variant niet anders te zijn.
In de grafiek hieronder zijn ter illustratie de tijdreeksen van het aantal positief getesten (blauw) en het aantal overledenen (rood) in Groot-Brittanië zo goed mogelijk op elkaar gepast. Daarvoor is de verticale schaal van de sterftecijfers aangepast (‘opgerekt’), en de sterfte-curve is tien dagen naar links geschoven. Dit komt overeen met een gemiddelde tijd van tien dagen tussen dat een patiënt positief getest wordt en overlijdt.
In september was het aandeel van de Britse variant nog miniem, maar dat steeg sterk van november tot begin januari. Als de Britse variant dodelijker is, zou de rode curve daarom aan de rechterkant steeds verder boven de blauwe curve uitstijgen. Maar optisch lopen ze keurig gelijk op, wat er op duidt dat de IFR van de Britse variant gelijk is aan de IFR van de gewone variant.
Dit handmatige staaltje curve-fitting, ter gelegenheid van dit artikel, geeft niet meer dan een eerste indicatie; epidemiologen zijn nu druk bezig om dit grondiger te onderzoeken.
Groepsimmuniteit
Groepsimmuniteit houdt in, dat een nieuwe uitbraak van een ziekte vanzelf uitdooft, omdat een geïnfecteerde persoon gemiddeld minder dan één ander persoon besmet. Als de R0 in een populatie van alleen maar vatbare personen bijvoorbeeld 3 is, steekt elke geïnfecteerde gemiddeld drie anderen aan. Maar als twee op de drie personen in de populatie al immuun is, steekt elke geïnfecteerde gemiddeld maar één ander aan, wat precies de grens is tussen wel of geen groepsimmuniteit. In formulevorm: de grens voor groepsimmuniteit ligt bij 1 – 1/R0.
Dus als R0 = 3 , moet meer dan 1-1/3 = 2/3 van de bevolking immuun zijn, wil een uitbraak vanzelf uitdoven.
Het is in Nederland sinds het uitbreken van de pandemie taboe geworden om het los van vaccinatie over groepsimmuniteit te hebben. Maar inmiddels is duidelijk dat het overgrote merendeel van de geïnfecteerden na herstel langdurig immuun blijft, minstens zo lang als de pandemie nu al duurt.
Dus natuurlijke groepsimmuniteit bestaat wel degelijk voor Covid-19, al vinden we het overlijden van tegen de honderdduizend Nederlanders een te hoge prijs om groepsimmuniteit te bereiken.
Naar schatting is inmiddels ongeveer tien procent van de Nederlandse bevolking immuun tegen Covid-19 omdat ze de ziekte al gehad hebben. Dat percentage zal in de komende maanden zeker nog flink stijgen, aangezien nog elke dag duizenden Nederlanders herstellen van Covid-19.
Wedloop naar groepsimmuniteit
Maar uiteraard is het verminderen van het aantal vatbare personen in een populatie door vaccinatie te preferen. ‘Onderzoek naar een virusuitbraak’ behandelt dit onderwerp wel, maar kwam net te vroeg om het nieuws over de mRNA-vaccins van Pfizer/BionTech en Moderna nog mee te nemen.
De vaccinatiecampagne zoals die in Nederland en andere Westerse landen in januari van start is gegaan, is te beschouwen als een wedloop met het virus naar groepsimmuniteit:
Bovenstaande grafiek geeft het verloop van de epidemie weer zonder maatregelen als lockdowns en social distancing. Onder de doorgetrokken lijn zit de bevolking die besmet is geraakt en immuun geworden is (het percentage mensen dat overlijdt, is relatief zo laag, dat dit geen rol speelt in deze grafiek). Boven die lijn zit de nog vatbare bevolking.
In het begin stijgt het aantal geïnfecteerden exponentieel, maar naarmate een hoger percentage van de bevolking hersteld en immuun is, vlakt de groei af, omdat het voor het virus steeds lastiger wordt om nog vatbare mensen te vinden. Dus ook bij een ongecontroleerde epidemie raakt niet de hele bevolking besmet.
Met een geschatte R0=3 voor Covid-19, ligt de drempel voor groepsimmuniteit op (1-1/3) x 100% = 67% van de bevolking.
Als een nieuwe variant van het virus opduikt, met een hogere R0, zeg 5, wordt dit een concurrent voor de oorspronkelijke variant. De drempel voor groepsimmuniteit dan gaat ook omhoog, naar (1 – 1/5) x 100% = 80%.
Op het moment dat het totaal aantal geïnfecteerden de oorspronkelijke drempel van 67% bereikt (zie de verticale stippellijn), komen er niet of nauwelijks nog gevallen van gewone Covid-19 bij. Maar de groei van de Britse variant gaat dan nog door, tot het totaal aantal geïnfecteerden 80% bereikt.
Ook vaccinatie vermindert het aantal vatbare personen. In het begin stijgt het aantal vaccinaties ongeveer lineair (aannemende dat iedere week ongeveer evenveel personen gevaccineerd worden). De vaccinatie-curve vlakt af, omdat op den duur steeds meer mensen worden gevaccineerd die de ziekte al gehad hebben, zodat die vaccinaties niet bijdragen aan het verminderen van het aantal vatbaren. Bovendien kan een kleine groep de vaccinatie om medische redenen niet nemen, of weigert die.
De epidemie dooft uit zodra het aantal geïnfecteerden + aantal gevaccineerden 80% bereikt, de drempel voor groepsimmuniteit voor de Britse variant. Zo veel mogelijk mensen vaccineren, ook boven de drempel, blijft belangrijk. Immers, het is niet precies bekend hoe lang immuniteit blijft bestaan, door besmetting of vaccinatie, maar waarschijnlijk wel minstens een jaar. Na een jaar zou de immuniteit bij steeds meer mensen kunnen gaan afnemen. Dus hoe meer marge er boven de drempel is, des te beter.
Onderzoek naar een virusuitbraak
Toepassingen van wiskunde.
Dit boekje, gepubliceerd door Stichting Vierkant voor Wiskunde, is bedoeld voor scholieren van 15 jaar en ouder. Het behandelt de basisprincipes van de epidemiologie. Wiskundige aspecten worden verder uitgewerkt door middel van een groot aantal opgaven die geschikt zijn voor leerlingen in de klas.
Het kreeg financiële steun uit de landelijke outreachgelden voor wiskunde en informatica van de universiteiten. Daardoor kost het slechts € 12,95 (exclusief verzendkosten) en is te bestellen via de webwinkel van stichting Vierkant voor Wiskunde [https://www.vierkantwinkel.nl/nl/category/toepassingen/ ]
Auteur: Elles Lalieu
Redactie: Carl Coppeschaar
85 pagina’s
ISBN/EAN 978-90-81268-69-1
Verder lezen
Waarom de nieuwe coronavariant zich zo snel verspreidt
https://www.nemokennislink.nl/publicaties/waarom-de-nieuwe-coronavariant-zich-zo-snel-verspreidt
Relativerend rekenen aan Covid-19
https://www.nemokennislink.nl/publicaties/relativerend-rekenen-aan-covid-19
‘Ik vind het abstracte juist het mooiste van de wiskunde’https://www.nemokennislink.nl/publicaties/ik-vind-het-abstracte-juist-het-mooiste-van-de-wiskunde